1 背景
我们知道，数学公式中正负号 $\pm$ 用于表达两个可能的量。比如作：
$$
x = \pm 1
$$
这等价于 $x \in \{ +1, -1 \}$。
并且，正负号可以搭配负正号 $\mp$ 使用，以表达 $\pm$ 与 $\mp$ 联动且符号相反（一者取 $+$、另一者取 $-$）。比如作：
$$
\begin{cases}
x = \pm 1 \\
y = \mp 1
\end{cases}
$$
这等价于 $(x, y) \in \{ (+1, -1), (-1, +1) \}$。
正负号如果多次出现，则可能带有歧义。比如作：
$$
\begin{cases}
x = \pm 1 \\
y = \pm 1
\end{cases}
$$
一种理解是，这两个 $\pm$ 是联动且符号相同的。也即其等价于 $(x, y) \in \{ (+1, +1), (-1, -1) \}$。
但另一种理解是，这两个 $\pm$ 是互相独立的。也即其等价于 $(x, y) \in \{ (+1, +1), (+1, -1), (-1, +1), (-1, -1) \}$。
一般需要通过额外的文字说明来解释这两个 $\pm$ 之间的关系，以区分这两种情况。
2 方法
我提倡为正负号增加下标，来区分正负号之间的联动关系。给出如下约定：
- 约定：同下标的正负号（负正号）视为同一组，它们的取号联动：取上号或下号必须一致；不同组之间独立取号。
因而就可以用
$$
\begin{cases}
x = \pm_A 1 \\
y = \pm_B 1
\end{cases}
$$
表达 $(x, y) \in \{ (+1, +1), (+1, -1), (-1, +1), (-1, -1) \}$；用
$$
\begin{cases}
x = \pm_C 1 \\
y = \pm_C 1
\end{cases}
$$
表达 $(x, y) \in \{ (+1, +1), (-1, -1) \}$。
这也接近最为标准严谨的作法，即用统一的变量符号来表示 $\pm$ 或 $\mp$，比如：
$$
\begin{cases}
x = \epsilon_A \cdot 1 \\
y = \epsilon_B \cdot 1
\end{cases}, \quad \epsilon_A, \epsilon_B \in \{ +1, -1 \}
$$
和
$$
\begin{cases}
x = \epsilon \cdot 1 \\
y = \epsilon \cdot 1
\end{cases}, \quad \epsilon \in \{ +1, -1 \}
$$
3 使用例
3.1 例一：双二次方程的根
双二次方程 $x^4 + p x^2 + q = 0$ 的解为：
$$
x = \pm_1 \sqrt {\frac {- p \pm_2 \sqrt {p^2 - 4 q}}{2}}
$$
3.2 例二：振幅调制
对于余弦形式的同振幅载波 $c(t)$ 和调制波 $m(t)$：
$$
c(t) = \cos (\omega_c t \pm_c \phi_c), \quad m(t) = \cos (\omega_m t \pm_m \phi_m)
$$
通过积化和差公式
$$
\cos u \cos v = \frac 1 2 \big( \cos (u + v) + \cos (u - v) \big)
$$
可以得到
$$
\begin{align*}
c(t) m(t) = \frac 1 2 \big( & \cos ((\omega_c + \omega_m) t \pm_c \phi_c \pm_m \phi_m) \\
&+ \cos ((\omega_c - \omega_m) t \pm_c \phi_c \mp_m \phi_m) \big)
\end{align*}
$$